最短路问题

单源(起点)最短路

只有一个起点
n m都很大

所有边都是正数

朴素Dijkstra算法

o(n^2) 点数^2
稠密图
邻接矩阵

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int g[N][N];  // 存储每条边
int dist[N]; // 存储1号点到每个点的最短距离
bool st[N]; // 存储每个点的最短路是否已经确定

// 求1号点到n号点的最短路,如果不存在则返回-1
int dijkstra()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;

for (int i = 0; i < n - 1; i ++ )
{
int t = -1; // 在还未确定最短路的点中,寻找距离最小的点
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
t = j;

// 用t更新其他点的距离
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);

st[t] = true;
}

if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}



堆优化版Dijkstra算法

o(mlogn) 边数 * log点数
稀疏图

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typedef pair<int, int> PII;

int n; // 点的数量
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边
int dist[N]; // 存储所有点到1号点的距离
bool st[N]; // 存储每个点的最短距离是否已确定

// 求1号点到n号点的最短距离,如果不存在,则返回-1
int dijkstra()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;
heap.push({0, 1}); // first存储距离,second存储节点编号

while (heap.size())
{
auto t = heap.top();
heap.pop();

int ver = t.second, distance = t.first;

if (st[ver]) continue;
st[ver] = true;

for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (dist[j] > distance + w[i])
{
dist[j] = distance + w[i];
heap.push({dist[j], j});
}
}
}

if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}


存在负权边

Bellman-Ford

o(nm)

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int n, m;       // n表示点数,m表示边数
int dist[N]; // dist[x]存储1到x的最短路距离

struct Edge // 边,a表示出点,b表示入点,w表示边的权重
{
int a, b, w;
}edges[M];

// 求1到n的最短路距离,如果无法从1走到n,则返回-1。
int bellman_ford()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;

// 如果第n次迭代仍然会松弛三角不等式,就说明存在一条长度是n+1的最短路径,由抽屉原理,路径中至少存在两个相同的点,说明图中存在负权回路。
for (int i = 0; i < n; i ++ )
{
for (int j = 0; j < m; j ++ )
{
int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w;
/*
if (dist[b] > dist[a] + w)
dist[b] = dist[a] + w;
*/
//松弛操作
dist[b] = min(dist[b],dist[a]+w)
}
}

if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) return -1;
return dist[n];
}



20220124142822

SPFA

一般o(m),最坏o(mn)
没有负环就可以用
99%的题目都可以用
都是正边有时也能用

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int n;      // 总点数
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边
int dist[N]; // 存储每个点到1号点的最短距离
bool st[N]; // 存储每个点是否在队列中

// 求1号点到n号点的最短路距离,如果从1号点无法走到n号点则返回-1
int spfa()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;

queue<int> q;
q.push(1);
st[1] = true;

while (q.size())
{
auto t = q.front();
q.pop();

st[t] = false;

for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (dist[j] > dist[t] + w[i])
{
dist[j] = dist[t] + w[i];
if (!st[j]) // 如果队列中已存在j,则不需要将j重复插入
{
q.push(j);
st[j] = true;
}
}
}
}

if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}


判断是否存在负环

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int n;      // 总点数
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边
int dist[N], cnt[N]; // dist[x]存储1号点到x的最短距离,cnt[x]存储1到x的最短路中经过的点数
bool st[N]; // 存储每个点是否在队列中

// 如果存在负环,则返回true,否则返回false。
bool spfa()
{
// 不需要初始化dist数组
// 原理:如果某条最短路径上有n个点(除了自己),那么加上自己之后一共有n+1个点,由抽屉原理一定有两个点相同,所以存在环。

queue<int> q;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
q.push(i);
st[i] = true;
}

while (q.size())
{
auto t = q.front();
q.pop();

st[t] = false;

for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (dist[j] > dist[t] + w[i])
{
dist[j] = dist[t] + w[i];
cnt[j] = cnt[t] + 1;
if (cnt[j] >= n) return true; // 如果从1号点到x的最短路中包含至少n个点(不包括自己),则说明存在环
if (!st[j])
{
q.push(j);
st[j] = true;
}
}
}
}

return false;
}


多源(起点)汇最短路

起点终点都不确定
n很小,m很大

Floyd算法

o(n^3)

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初始化:
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
if (i == j) d[i][j] = 0;
else d[i][j] = INF;

// 算法结束后,d[a][b]表示a到b的最短距离
void floyd()
{
for (int k = 1; k <= n; k ++ )
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}



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