数和图的存储和遍历

是一种特殊的图

无向图

特殊的有向图

有向图的存储

邻接矩阵

二维数组
g[a][b] 表示a->b

邻接表(用的最多)

单链表
每一个点都是一个单链表
存储的是每个点可以到达哪些点

对于每一个节点,都开一个单链表(类似拉链法)存储该节点可以访问到的点,存储次序无关紧要。

20220115195751

插入边:

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插入操作:

不带权值

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//邻接表
int h[N], e[M], ne[M], idx;// M = 2 * N

//插入边a ---> b
void add(int a, int b)
{
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}


带权值:

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int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;

void add(int a, int b, int c) // 添加一条边a->b,边权为c
{
e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a]. h[a] = idx ++;
}

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// 对于每个点k,开一个单链表,存储k所有可以走到的点。h[k]存储这个单链表的头结点
int h[N], e[N], ne[N], idx;

// 添加一条边a->b
void add(int a, int b)
{
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

// 初始化
idx = 0;
memset(h, -1, sizeof h);

遍历方式

深度优先搜索

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bool st[N];//true表示已经用过

int dfs(int u)
{
st[u] = true; // st[u] 表示点u已经被遍历过

//遍历u的邻接点
for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];//拿到出边的对应的节点编号
if (!st[j]) dfs(j);//如果没有被访问过,继续递归深搜
}
}

树的重心:

20220115200244

20220115191737

宽度优先搜索

图宽搜的框架和前面BFS的框架基本一模一样,只是将图的结构扩展到宽搜框架里。前面的BFS是根据具体题目来扩展点,图的话采用邻接表存储图,从1号节点编号开始,扩展的是每一个点的临边。

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1. queue <---- 1号点

2. while(队列不为空)
{

t <---队头
弹出队头

扩展队头元素(扩展t的所有邻接点j)
{
获取邻接点(编号)j
if(j未遍历,符合条件)// 第一次遍历才是最短路径
{
queue <----- j入队// (邻接节点)
更新距离 //d[x] = d[t]++
}
}

}

3. 最后队为空,结束

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queue<int> q;
st[1] = true; // 表示1号点已经被遍历过
q.push(1);

while (q.size())
{
int t = q.front();
q.pop();

for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (!st[j])
{
st[j] = true; // 表示点j已经被遍历过
q.push(j);
}
}
}

拓扑排序

有向图
不存在环 即 有向无环图
宽搜

拓扑序列:在一个有向图无环中,对所有的节点进行排序,要求没有一个节点指向它前面的节点。即,所有的边从前指向后!

重要结论性质:一个有向无环图至少存在一个入度为0的节点!

求解步骤:

(1)先统计好图中所有点的入度情况

(2)找到图中入度为0的节点,将它删去,由它发射出来的所有边也要删掉,即它指向的邻接节点度数-1

(3)将删去节点后剩下的图,继续按(2)的规则继续删节点。

按照节点被删除的顺序,依次把这些被删除的节点记录要一个序列里边,当图中所有节点被删除后,那么这个序列就是一个拓扑序列了!

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注:当同时出现两个或以上入度为0的节点时,拓扑序列结果不唯一!

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bool topsort()
{
1. queue <---- 所有度为0的点

2. while queue不为空
{
t <---- 队头
弹出队头

枚举t所有的出边 t ---> j
{
删掉出边 t ---> j: d[j] --;// 入度-1

if(d[j] == 0)// 当节点j入度为0时,入队
queue <---- j
}
}

如果有n - 1个节点入队的话,说明是拓扑序列返回true,否则不是返回false
}

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bool topsort()
{
int hh = 0, tt = -1;

// d[i] 存储点i的入度
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
if (!d[i])
q[ ++ tt] = i;

while (hh <= tt)
{
int t = q[hh ++ ];

for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (-- d[j] == 0)
q[ ++ tt] = j;
}
}

// 如果所有点都入队了,说明存在拓扑序列;否则不存在拓扑序列。
return tt == n - 1;
}